思绪总是跃迁，寻不到稳态，但还是决定将第一篇文章献给钟爱的占星。
        突然发现，“臆”这个字很有意思，左右拆开再分取月、意的声母变成yy二字，看来古人创字与现今拼音倒可寻相同之处。星之臆，则纯属yy，星座、行星、宫位、相位的理解便只能感性而泛泛的谈说啦～
        可能因为自身金牛的原因，对于固定宫有偏好，又或许在这须臾万变的世界，固定宫不同方面的固执，浓重的“口味”，也是给人深刻印象。而重大相位之中，又完全喜爱180对冲相位，可能也是因为本命盘中月亮合冥王，对冲日水金，而象征死亡重生的天蝎座与冥王星的影响，使得我热爱着彼此激烈矛盾中纠结产生新的更深刻强烈的依赖与升华--总觉得深刻是需要经过洗礼的。或许其实一切只是由于日金相合带来的自恋吧，呵呵，总之金牛和天蝎的纠纷是我最乐于去学习理解的。
        在众多12星座排行中，论及物质、现实不离金牛，金牛爱钱（想起君子爱财，看来nn真是多君子呀@@）爱美食，爱五色爱五音，占有欲强但性格大算平稳温和；论及欲望、灵魂不离天蝎，我所接触的天蝎大多算表面温和，但说话做事很有分寸，对事物的态度很激烈，分寸带来神秘感，激烈更是强化了这种感觉。曾经看过一篇文章，大致说，虽然处于对冲相位，但本质上天蝎和金牛是相似的，同样的占有欲，同样的贪婪。
        星盘之中，最重要的应该是日月星座了，当然其他八大行星甚至是小行星也很重要。大家一般说来喜欢讨论太阳星座，但是最近我对月亮的爱好越来越重，或许跟天蝎的对隐秘的嗜好有关吧。我看来，性格的契合不及双目相会时瞬间的心通神达。曾经我以为对于一些月天蝎的人，我能有这种感知能力，但是或许这种“心有灵犀”也需沉静的心绪和深刻的关切吧。
        那么，以我个人的思考，我觉得太阳落在金牛会带来一种对享乐事物的爱好，对“精致”的追求。比如音乐方面，可能就会对音准比较敏感，而不仅仅沉溺于汪洋恣肆的情感宣泄，从精确的音准中亦能获取一些感官的愉悦。而且性情大约平和低调，看上去不咄咄逼人。但是这些仅仅是外在的感觉，真正内心所想往，能引起灵魂极度幸福的鸣颤，是由月亮所掌握的，便是情感的起伏。其实一直会以为，对于真正的天蝎来说，一段深刻的感情至少是与卿相之尊、万石之贵相匹敌的，甚至会超越后者。虽然月亮落在天蝎，官方说法是影响力最弱，但是我以为，这将天蝎的隐秘性和对情感的需求发挥到了极致。
        所以我以为，真正看一个人要看月亮，他内心的需求，他的灵魂性是最根本的。太阳能影响相处时注意的事物和发展方向，但是月亮或许能觉得两人应不应交往。说一个轶事，最近在看一个传说中的学长的博客的时候，满眼对美食的评价，当时心里强烈反应此人月亮金牛，后面随意查了下盘，果然如此。虽然我的小马虎同学也是月亮金牛，似乎只秉承了金牛平稳的做事态度（可能也和血型有关），但我还是以为月亮金牛，能让更多金牛的特质深入到人的深层，这时对一切外在所谓的“美”的追求和挚爱将远非日金牛可比了。
        ps：新的征程，今天开始，感慨路易十四豪情满怀的“L'etat，c'est moi”

前天返校，路上的时间是在学校时间的5倍以上，很久没有坐过夜的卧铺了。沿着熟悉的路线，从赤峰路坐上公交，四年来习惯的一些期待，还是这般的隐隐，但是也如此的淡然。自然无果。
    暑假里的校园多了些夏日的浮燥，但也少了份人流拥塞的茫然。小东门笔直走到光华是最后两年最常徘徊的路线，走过三教的教师休息室，会想起不久前的某次同样经过此地陡然涌起的怀念和离思。因着繁重的课程，也因着过早消耗的伤感，上个学期没有毕业餐的尽兴也没有毕业墙前的流连，离思所凝的清泪从去年到今年零星洒落，却多了故作呻吟的绵长，少了喷薄澎湃的难以自抑。呵呵，有些沉湎于文字了。。。只是，设想过多少次告别学校应该做的姿态，还是会有很多临时突起的触动。横穿光华大道，还是轻轻左转头，突然发现原来梧桐这么浓密了，突然发现这是我第一次在阳光下看到清清静静的三教北出口。以前那里总是人潮涌动，漠然的，掠过的，还有失落的。最后两年，基本就没和同班同学上过课了，逃了所有物理坐在数学的最后一排，两处都其实陌生。上次跟室友在三教一起上课是数学物理方法。很有趣的是，大二下在记忆中是弥漫这金黄阳光的，如同整个大一，但是大三上是淡淡天青，大三下是轻抹阴霾。于是前天，那样惊鸿一瞥，心中有些意外的触动，突然想起下次再回来真是不知道何时何日了。回来发现果然，签证可以从武汉办理，918还是成为心中萦绕不去的纠结，无法决定到底采用何种分离姿态，是面对面的勉强与激烈，还是用灰尘掩埋？或许最终，我会让复旦渐行渐远，直到真正的淡了才敢再次认真面对。当然，是或许，或许又像以前很多次，还是忍不住堕落了，然后让庸俗与死缠烂打将所有矜持消失殆尽～
     不过这突然的触动究竟是短暂的，瞬间我就被pp的毕业证学位证和成绩单迷倒了，很开心呢，还买下了三本很喜欢的书，其中一本是《台北故宫》。
     说及古物，向来是有一点点兴趣的，但是不多。从小到大去的地方基本以自然风景闻名，十多年前去过北京故宫，只记得万斤中的大禹治水汉白玉雕。等到大了些，高中突然迷恋上商朝历史，对甲骨金石的兴趣略增，也一直念念不忘想去安阳，想见洹河。这些年来，最喜欢的礼物是高中毕业的时候爸爸同事送的甲骨赝品，图如下：

因为年代久远，盒子丢失了，也竟然忘记这是“日、月、？、山、水、鱼”，每当想起很是郁闷。。。T.T
    放到眼前仔细看，可以看到每笔都是刻上去然后再上墨的。曾经欧阳询在《用笔论》中说“刚若铁画”，倒是被商人践行的十分贴合了。很喜欢甲骨文这种刚劲拙朴的气质，毕竟商就是质朴的代表。及至篆体，用笔多些阴柔，圆滑之中尽显春秋战国文过饰非的风气。
    回到台北故宫，一路颠簸，窗外列车轰鸣，一个晚上看完了相当于CCTV_1节目说明的书，昨天找到了电影《经过》，也是耐着性子终于看了一遍。《经过》感觉很淡，很淡，淡到纵是看到东横最后平和的面容也觉得应当如此平和。配乐亦是很淡，淡淡的勾起感伤，淡淡的放下悲痛，“哀而不伤”或许就是这种感觉吧。不过看到了散氏盘、毛公鼎，还看到了有宋三大名图放在一起的展览，或许《经过》的感觉就像要面对这些古董是一种安静吧。书上的图片里倒是最喜欢郭熙的《早春图》，觉得灵秀动人，烟霞蔚起而增飘渺之色。但是放到展厅里面，虽然是从电影中看，却对范宽的《豀山行旅图》印象更深，似乎画卷的大小能添那种古拙的气势，远山似乎压人而来。论及作为影片剧情一个重要组成的《寒食帖》，倒真是一点感觉都没有。虽然喜欢苏轼的散文，但是他的诗作从来没觉得好过，而且他的为人太过狂放，也太过郁闷，还素偶家王维爷爷感觉更有高风啊！！算了，从来也没有练过字，毕竟传说中的天下第三行书也不好肆意评判了。今晚C1讲苏轼书法，拭目以待！
    毕竟，虽身为据说有品位的nn，但是对音乐的敏感远远强于对美术。中国古琴谱大多散佚，后人yy的广陵散、高山流水虽然不错，但听起来心中总是怀疑心思翻飞，严重影响鉴赏，不过阮籍的《酒狂》倒是可一抒疏狂之意～

ps：法语啊。。。怎么就是学不进啊。。。哭。。。

 一直在思考space的意义。真正会有很多人对于旁人的经历、心情状况十分感兴趣么？记得大一时班上的一个同学说过，人都不在意其他人的。于是，写space一定会有同学来看么？如果没有，那么与悄悄写自己的日记有什么区别？如果有，那么出发点是什么？是一种礼尚往来的仪式么？因为大家都渴望被关注？

很迷惘....

今天读到一首诗，Pope的，摘记如下：

Placed on this isthmus of a middle state,

A being darly wise, and rudely great;

With too much knowledge for the Sceptic's side,

With too much weekness for the Scoic's pride,

He hangs between; in doubt to act, or rest,

In doubt to deem himself a God, or beast,

In doubt his mind or body to prefer,

Born but to die, reasoning but to err.

看到过一句话说，哲学家不需要深刻，只需要天赋。这算是对当代教育的一种否定么？

GRE又废掉了一天....

还有15天倒计时了....

 

8月9号就要考机考了....看着那些网上的前辈，再对比一下自己，顿时自信全无....

不过，同学说申请数学的作文要求并不是很高，稍微松了一口气...

每天看作文也看得心烦，没事逛逛sina的astro版，拉琴也拉得实在郁闷...

现在把昨天写的argument贴出来，玩玩~

背了一遍新东方的书，抄袭了不少模版，估计这样，到时候不在3.5一下就奇怪了呢....

 

In this argument, the author recommends a general use of ultrasound machines which are able to detect plaque in blood in order to make overall medical cost in Corpora decreasing. To support this claim, the author cited the relationship between artery walls thickening and the risk of stroke, and then made a forecasting over people’s reaction towards the detect results. This recommendation, while suggestive in surface, suffers from three flaws in reasoning.

In the first place, the author makes an underlying assumption without evidence that plaque is the only reason for artery walls thickening, and moreover, stroke is solely caused by artery walls thickening. However, many other substances could result in artery thickening such as fat deposit, and additionally, other factors such as artery aging are as well the possible reason for stroke. Without ruling out these possibilities, the author cannot construct a solid relationship between the risk of stroke and the detection.

Secondly, the author provides no statistical evidence about the credibility of this type of machine. Chances are that this technology is not well developed enough to reveal any significant amount of plaque that could lead to stroke, or that the rate of correct diagnosis is not high enough to place any reliability upon it. If so, the practicability of this detecting method is thus rendered high suspect.

Thirdly, the conclusion that a probable decrease would take place due to early detection is based upon a questionable reasoning. Hardly had we been convinced that changing life-style would make no medical cost. For example, taking some chronic medicine regularly to ameliorate health condition, or supplying some appliance for health excising may need high expenses. On the other hand, the author commits a fallacy of ignorance in assuming that stroke is the only way of medical fee cost. In fact, a great many of other factors could make considerable influence upon medical costs, such as obesity, high blood pressure, heart disease and so on. The author’s failure in considering the effect of these factors renders his recommendation amount to poor advice.

In sum, the author’s recommendation is not persuasive as it stands. To make it convincing, the author have to establish a general relationship between plaque and the risk of stroke, develop a deeper insight about the detecting machine, make a full investigation about Corpora’s medical expense cost. Only after these steps shall we accept the author’s point of view.

终于决定写点正常的东西了。以前总是像是散文，总带点无病呻吟的感觉~

     很久没有更新自己的space了。

     前一段时间，本想对上个学期发生的一些，或可说铭心的事情，心境做个总结，也是一种叹息。于是修改了阅读权限，却迟迟未能动笔。可能一些事情，直到现在，还是无法释怀，也只有那一个朋友可以明白。

     不管怎么说，大二开始了。一切的一切还是，随着秋叶的陆续凋零渐渐消逝，直至记忆都如此模糊不清，曾经在深渊里不断下沉，下沉。我也开始学着在新的心境里，新的环境中开心，快乐。可是心情还是如此的起伏不定，有时候觉得很多时候，笑声只是厚厚的掩藏了无奈，和忧伤。直到现在，冬天再一次降临，清清冷冷将一切终于尘封。

     可是，上个学期还是如此充满着阳光，一切绚烂，终归平淡，一切喧嚣，终归沉寂？以一种平和的心态，只是单纯的开心的回忆着路边的梧桐刚吐出绿芽，草坪上的小草悄然拱出新翠。秋草已然枯黄，梧桐已然碎落，想象着明年的初春，或许某次蓦然抬首，春日羞涩的日光再次闪烁在雪白的豆梨上，然后，莫名的感动与欣喜。这就足够了。

     这个学期，课还是照常翘的。可能自己太自信了。最近发现自己越发开朗了，或许高中的老师同学再次见面会惊诧不已吧。但是，显然课程认真多了。自己都不禁为这种认真小小自恋一下~自从期中考试以后，心情又突然摇摆不定了，于是荒废了不少。但是，人总归是会长大的。终有一天，我不再如此冲动。

     废话这么多，期末就在眼前了，明年的3月7号，大二下，我可以真正而单纯地开怀么？

      现在，夏日的午后，还是家乡的天蓝云洁阿！可以任意地放飞梦想。听着木偶师左近的主题曲，纯洁而充满向往的曲调，不禁想起王维爷爷的“问君栖隐处，遥望白云端”。

      整个大一的生活结束了，回首想想，诚哉感慨良多！告别了高中的实验班，复旦的一切感觉都焕然一新。难免对于高中那有点bt式的竞赛生活加以抱怨，然而其对于人生的影响还是不可磨灭的。

      在复旦，我竟然狂热地喜欢上了数学。或许年少轻狂吧，这个学期把其他所有的功课都放弃了，于是除了高数以外，都濒临挂的边缘。半个月的力挽狂澜，也要感谢诸多老师的心慈手软，其中最为突出的莫属化学的余承忠老师了。感谢他们，我终于得以顺利地告别这个梦幻似的大一下。

      还记得刚出物理成绩时，父母的脸都不知灰成了什么样子。老帐新帐一起算，我被数落得一无是处。身为物理的保送生，专业成绩却一塌糊涂，这也是我始料未及的。或许我对于数学的追求是错误而且荒谬的？它让我丧失了太多。可是我负隅顽抗着。将来我要学数学——这是这半年来我得到的唯一的决定。寒假里，陈纪修老师的数学分析陪伴着我度过了每一个冬天；当我每每为GPA所困扰时，数学是我唯一的避难所，唯有在数学的面前我能感受到沉静，从而摆脱从小浸淫的功利思想。

      3108。

      我最喜欢上海的是这里明媚的春光——没有绵绵的阴雨，似乎整个春天都沐浴在和煦而温暖的日光中。虽然，很不喜欢3108拥挤的人海，但是童裕孙老师的课讲得好这又能怎么办呢？然而，或许是过于主观的思想吧，坐在3108里，向北望着郁郁葱葱的树木，是最为惬意的事情。从仲春雪白的豆梨，到初夏荫翳的梧桐，被茵茵绿地衬托着，为金黄日光笼罩着。让我从心底感到一种安心。每周一，三，五的高数课是我最为开心的时刻。回想3，4月的仲春，路旁的梧桐刚刚吐出嫩芽，一片片新绿在日光下闪烁着，跳跃着。光华楼前的草坪也开始冒出些许小草。有时候，放了学后上去问童老师问题，总能让我感到一些惊喜——从紧集闭集，到维数定义，到Hilbert空间的一些性质，数学的世界向我缓缓展开。严谨而不乏自由。真怀念那时候的单纯的感觉阿.....而午间从3108一路走到食堂，看着熙熙攘攘的人群，总会禁不住微笑。说不清是出于什么一种心态。

      可以说，即使考前十分痛苦地在F的边缘挣扎着，可是我却不忍后悔。大一的仲春已然珍藏了我太多的美好回忆，有些如此美丽得让我感到心痛——因为害怕失去，也有些会让我热泪盈眶。其实，我并不害怕失去——诚然，失去是注定的。可是，未来的三年我会尽我的一切努力去追求它，去拥有它。孤寂，也是人生注定的，”子偊偊而独行“迟早会到来。或许终究一切云淡风轻，但是，我曾经微笑过，并且也可以一直微笑着。

      听者Beethoven的concerto in Major D，竟然感动了。不知道，为什么，数学这条路对于我来说这么困难重重，这么漫长。但是，身边不乏支持我的人们，这就已经足够了。不论如何，或许对于更远的未来我无法做出承诺，然而，套用一句老话——

      “路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”。

    然而，纯粹的理论仅仅是数学的一部分。反观人类社会中数学的起源，我们可以发现是出于完完全全的应用。当尼罗河水泛滥之时，为了量测土地用以分配，古埃及人发展了初步的几何与度量。希腊人沿用了埃及人的技术，并进一步发展，终于产生了严谨而理性的纯粹公理几何体系。18世纪法国思想家卢梭对科学予以了这样的抨击——“一切科学的起源都出于卑鄙的目的：天文学出于占星术迷信，几何学出于贪婪，物理学出于无聊的好奇”。虽然语出尖刻，却不无深意。这里并不是赞成卢梭的观点，而是想阐明：数学，作为人类社会的产物，必然需要应用于实际。不仅仅是出于社会利益的需求，实际上， 随着数学在现实世界的继续发展，人们逐渐认识到，应该把可观测的事实作为数学概念和构作的最终根源。进入20世纪，经济迅猛发展,宗教也逐渐世俗化，在拥有比较扎实的基础数学作后盾的条件下，应用数学得到了飞速的发展。

    一个比较典型的例子是程晋教授所介绍的计算机断层扫描系统，其理论基础源于数学中的Radon变换。1917年，数学家Radon在积分几何研究中引入了一种变换，其在图像重建中的具体形式表现为截面函数沿着直线的线积分等于其Radon 变换。此时的Radon变换仅具有数学上的意义。根据人体内不同组织对射线的吸收率不同的物理原则，几十年后南非物理学家Cormack和美国数学家Oldendorf巧妙地运用Radon变换（同时也使用了Fourier变换），将截面函数沿许多不同角度下直线的线积分所产生的投影数据进行逆Radon变换，得到截面函数。与此同时，他们克服了普通X-ray成像组织结构重叠伪影问题，并估计X-ray在人体组织内的衰减率，从而建立了真正意义上的计算机断层扫描技术，即今天广为人们所知的CT。CT技术的发展对于医学的进步起到了很大的促进，为人类判断疾病做出了重要的贡献。

    现代社会，电子信息技术飞速发展，数学在这方面也得到了较为充分的利用。例如基于离散数字动态系统的数学模型的自动机，亦即通常意义下不需要人们逐步进行操作指导的设备。自动机中最著名的莫过于英国数学家Turing提出的图灵机。它是由一个有限控制器、一条无限长存储带和一个读写头构成的抽象的，并可执行如下操作：

        ·读写头在存储带上向左移动一格；                                       

        ·读写头在存储带上向右移动一格；

        ·在存储的某一格内写下或清除一符号；

        ·条件转移。

的机器。一切"可计算"函数都等价于图灵机可计算函数，而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。以有多项式时间为上界，以图灵机为基本计算模型，奠定了计算机复杂性理论的基础。计算机复杂性理论的一个重要方向就是解决NP-完全问题，即直观上难解却无法证明其难解性的计算问题。而所谓难解，就是无法在多项式时间内被确定型图灵机所解决。在极为多数的与计算有关的学术领域里，NP-完全问题以各种形式层出不穷。通过与组合数学、概率方法、计算模型等相关数学领域的合作，NP-完全问题比如计算密码学、组合优化问题取得了极大的发展，并且进一步对计算机科学产生的全面的影响。

    除了对计算机本身的极大促进外，由于数学在金融分析、精算、数值模拟等大量社会、科技方面的应用，许多相关的数学软件应运而生。其中一个非常优秀的软件就是张锦豪教授所介绍的Tex。Tex是由美国Stanford教授Knuth 于七十年代专为解决数学符号排版问题而开发出来的。TeX的名字是由三个大写的希腊字母“tec”,即tau,epsilon,chi组成的，意为“科技”与“艺术”。其发音确实也与英文中的technology极为相近。当时Tex的源程序是用Pascal语言编译的，这可以方便地将其程序移植到其他的操作系统中去，而且它的输出与相应的设备无关。这些在当时都是十分先进而方便的。直到目前，Tex系统是公认的排版最为优秀的电子排版系统，具有一套功能强大且十分灵活的排版语言。许多组织利用Tex的宏定义功能对Tex进行了二次开发，比如AMS-Tex、LaTex等等。除了支持英文以外，还以实现中文、德文、法文等其他语言的输出。除了可以编排极为优美的数学论文以外，还能借助Tex编写乐谱、棋谱。最为重要的是，Tex文件是ASCII码的文本文件，十分方便具有并不高深的程序设计基础的人员阅读，也不会占用较大的存储空间。由于种种优良的性能，Tex已成为数学界十分通用的编排系统，有些出版社甚至要求投稿人将论文以Tex的形式投递，否则拒收。除了Tex这种数学文字编辑软件，比较著名的其他软件还有Maple、Math Cad、Mathematica、Matlab等数学计算软件，SAS、S-Plus、SPSS等统计分析软件，Oral、Sybase、Informax等数据仓库软件。概言之，现代数学的应用软件领域也呈现出精彩纷呈的局面。而数学的发展也反过来促进软件的开发，比如一种Mathematica软件具有分解因式的功能。这并非是简单地输入几个公式，然后再在应用中作为库存调用的呆板功能，而是运用了相当高深的代数理论是实现的软件初步智能化。

    除了上述方面之外，数学对于其他自然科学的影响之巨大是无需讨论的。比如一直与数学相依相存的物理。众所周知，微积分、复变函数、群论、概率论、非交换几何等等对物理的影响都是极为重要的。几乎每门数学分支都在物理中得到了应用，从而对其自身的发展也提供了动力。而物理也依赖于数学将物质世界的规律以逻辑与符号的形式表现出来。现在，泛函分析的一支——算子理论也与理论物理的前沿——量子力学共同促进、共同发展。虽然，这方面的数学是应归到应用数学抑或基础数学还有待讨论。

    总之，应用数学以数学一贯的严密的推理、完备的体系（相对意义下）、适宜的抽象在现代社会的各个方面呈现了前所未有的活力。

    不过，现在的数学感觉上似乎比较，或可用“幽默”这个词吧。一方面，基于其庞大而“坚固”的理论，应用数学在当今的科技社会如鱼得水；另一面，似乎基础数学家们却必须面对数学确定性丧失的一种有点尴尬的局面。一直强调这方面的问题，难免落于无病呻吟，太过于追求形而上学之嫌，就像卢梭所批判的“无聊”的追求。因为不管怎么说，基础数学丝毫不缺乏活力。然而，对其前景作简单介绍远远超出了我的能力。因此只能借助于哲学姑且说说。

    以上仅仅是个人对于数学的十分浅显的认识与看法，整篇论文也并没有明确的中心思想，随想随写，一如题目——“呓语”。身为一个知识面狭窄而认识力肤浅的学生，数学庞大的体系与精细的分支浩繁深邃，即使做管中窥豹式的一瞥也让我深感能力有所不逮。对无穷这种偏向哲学化的论题，只能叙述自己缺乏咀嚼的幼稚的理解。而像Godel定理这样艰深的内容，无非只能将其叙述一遍。或许正是因为站在数学的门外，才被古希腊的数学理念与体系所鼓动，对于所谓真理有着种种美好的却或许不切实际的幻想。尽管如此，将我目前所了解与理解的数学表述出来，对自己来说，也是一种成就。

“数学的本质就在于它的充分自由。”

    这是Cantor的一句名言，是否至理仍然有待争论。这是他对数学世界的观念。在这种观念的指引下，Cantor首次在无穷集合之间进行了大小，即“势”的比较，进一步创造性地提出，有理数的势是“阿列夫零（这个符号打不出来）”，而实数集的势是阿列夫，而且二者之间没有其他的基数了。后者即是著名的连续统假设。这些观念是如此地震撼人心，以至于遭到了Kronecker的激烈反对。顺带提一下，Kronecker是一个极其保守的人，他对于自然数有着特殊的爱好以至于甚至否认pai的存在。他说过一句话“上帝只创造了自然数，其他的工作都是人类干的”。大致是认为所有数学命题最终都可以归结为关于自然数的命题。这使我联想到我们所熟悉的数学归纳法。确实，现在数学中的许多概念的定义都运用了归纳的手段。比如说，阿列夫1、阿列夫2等等就是基于良序集的一种归纳定义；另外，如拓扑空间里的维数的定义也是归纳手法的一种典型的应用（这里，不考虑分形几何里的维数）。可是连续统假设似乎是太天马行空了，以至现在的人们都无法证明或证伪。上个世纪初，Godel证明了连续统假设与ZFC公理系统的各自独立性。现在，很多实变函数的书本里都会加上一句“这个假设我们约定不使用它来证明命题”。难道连续统假设将永远作为一个平行的定理么？

    曾经有人探讨过“双非”的问题，认为“正确对于科学来说，既非充分条件，亦非必要条件”。我十分赞同这种观念。因为，正确的定义是“人为”的。我们永远无法跳出自身被束缚的圈子，从而对事物进行判断的标准并不是自然的本质。由于正确的不能被精确定义性，这或许决定了我们对于世界的探知的永无止境。对应于自然科学中“正确”的找寻，现在的数学中，最本质的东西的定义在被追求。比如说，“零”是什么？或许会说，在一个定义了加法的代数结构里，是满足与任意元素相加后不变的一个量。然而，我觉得在人力所能及的范围内，任何人所构造出来的运算方法都是基于我们已经公认的加、减、乘、除。0的真正定义或许要从自然数里寻找，于是Descartes拓展了0的意义，表述出来就是：两个相同的自然数构成的序对的等价类就是0。简略的说，0就是空集。然而，如柯朗所说的：准确描述实体的努力被实体自身给否定了。这就使得，对于数学研究系统的公理化成为必须，以及对一些最本质的元素的直观默认被接受。为了避免Russell悖论的发生，现代数学公认的是ZFC形式公理系统——Zermelo-Frankel and Axiom of choice公理系统。其中包括了外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷公理、替换公理、正则公理以及选择公理。对于我来说，公理化数学系统感觉上是为了躲避已经知道的陷阱，找寻独立的最少的表述。这多多少少让人觉得太被动。数学，真的是人类所构造的一种游戏么？人类所构造的数学体系究竟是不是自然真理的体现，这是一个一直困扰人们的问题。

    另外，时常会感到困惑。数学家们永远在追求着逻辑，可是逻辑似乎没有上界。我们所有的课本上关于集合的运算律，如分配律、结合律，等的证明无非是把数学符号转变成文字叙述，最后再加上“显然成立”。“逻辑”，似乎建立在常识之上。然而，直观却不能被相信。这实在有点难以理解和接受。

    不管怎么说，人们在对逻辑严密性的追求中发现了它的巨大威力。历经Russel悖论的冲击后，以Hilbert为首的数学家们提出了Hilbert纲领，即通过公理化数学基础，将各门数学形式化，构造可有限公理化的符号逻辑系统——形式系统，建立数学的一致性。然而，这种设想却被Godel的不完备性定理彻底地粉碎了。Godel定理涉及到两个系统：形式系统和算术系统。其中，形式系统属于句法范畴；算术系统是一个关于自然数构造和运算的数学系统，属于语义范畴。Godel通过句法和语义的互相纠缠，证明了形式系统存在本质上的局限性,亦即这样两个命题：

   （1）在关于算术系统的任何形式系统中，都存在一个这样公式，它在算术系统里被解释为“真”，但在该形式系统中是不可证明的；

   （2）关于一个至少包容算术系统的一个数学理论的任何一个形式系统的协调性（经过Godel编码后）不能在该形式系统内部得到证明。

    也就是说，除非不承认算术，否则对Godel定理不必有任何怀疑。Godel定理告诉我们，以算术为基础、以有限公理化的形式系统为工具来刻划任何至少象算术系统那种丰富程度的数学理论，必定是不完备的。所谓“不完备”，一是指“可证明”的命题注定不能覆盖“真”命题，二是指该形式系统自身的协调性注定不能在该系统内部得到证明（在Godel编码意义下）。

    Godel定理在数学基础和逻辑上的影响是极其巨大的。因为按照Godel定理，只有某些连算术都不能包容的极其贫乏的理论可以用形式化系统自圆其说，否则稍微象点样的数学理论都不可能以一个形式化系统自圆其说地进行刻划。以Godel定理为分界，确立了形式系统不能做什么的一个得到普遍接受的边界，使人们放弃了对形式系统的不切实际的过高期望，使得形式系统在其能力范围内得到健康的发展。

    看着Escher的巴比伦塔顶上孤独而永不停歇的人们，这就是对于现代的数学家们的刻画么？在貌似十分接近的绝对真理的天空下，却仍旧无法达到彼岸。Escher曾画过一条自身盘绕、从身体中穿出而咬住尾巴的龙，虽然与物理中宇宙物理与微观物理的结合有相同之处，但是，从形体的矛盾性上看也与现代数学的体系交相呼应。或许这就是Klein将他的一本书命名为《数学——确定性的丧失》的原因吧。

    不过，数学并非只是逻辑的产物与形式。奇妙的是，人们总能够将美术，音乐等十分抽象的艺术与数学联系起来。往往，Escher的画所产生的怪异的视觉悖论总能使人们将其与Bach音乐中的数学联系起来。而Bach的《卡农》中所体现的听觉悖论也无疑是对Escher的一种极好的呼应。事实上，人们十分肯定Bach音乐中所存在的数学，数学家也是Escher的第一批崇拜者。可是这究竟是一种什么样的形式，却很难被描述清楚。曾经，Pythagoras试图通过数与频率的关系来解释音阶的悦耳性，这也确实是一种很美妙的行为。不过，在单一的数的联系之外，是否有着某种更高层次的数学与艺术的相通呢？

    这些都是太哲学化的数学了。或许正是这一点，赋予了基础数学一如其英文名——pure mathematics的纯粹的气息吧，尽管现代的数学与希腊时代Plato追求永恒而绝对的真理的设想有着比较大的出入。