然而，纯粹的理论仅仅是数学的一部分。反观人类社会中数学的起源，我们可以发现是出于完完全全的应用。当尼罗河水泛滥之时，为了量测土地用以分配，古埃及人发展了初步的几何与度量。希腊人沿用了埃及人的技术，并进一步发展，终于产生了严谨而理性的纯粹公理几何体系。18世纪法国思想家卢梭对科学予以了这样的抨击——“一切科学的起源都出于卑鄙的目的：天文学出于占星术迷信，几何学出于贪婪，物理学出于无聊的好奇”。虽然语出尖刻，却不无深意。这里并不是赞成卢梭的观点，而是想阐明：数学，作为人类社会的产物，必然需要应用于实际。不仅仅是出于社会利益的需求，实际上， 随着数学在现实世界的继续发展，人们逐渐认识到，应该把可观测的事实作为数学概念和构作的最终根源。进入20世纪，经济迅猛发展,宗教也逐渐世俗化，在拥有比较扎实的基础数学作后盾的条件下，应用数学得到了飞速的发展。

    一个比较典型的例子是程晋教授所介绍的计算机断层扫描系统，其理论基础源于数学中的Radon变换。1917年，数学家Radon在积分几何研究中引入了一种变换，其在图像重建中的具体形式表现为截面函数沿着直线的线积分等于其Radon 变换。此时的Radon变换仅具有数学上的意义。根据人体内不同组织对射线的吸收率不同的物理原则，几十年后南非物理学家Cormack和美国数学家Oldendorf巧妙地运用Radon变换（同时也使用了Fourier变换），将截面函数沿许多不同角度下直线的线积分所产生的投影数据进行逆Radon变换，得到截面函数。与此同时，他们克服了普通X-ray成像组织结构重叠伪影问题，并估计X-ray在人体组织内的衰减率，从而建立了真正意义上的计算机断层扫描技术，即今天广为人们所知的CT。CT技术的发展对于医学的进步起到了很大的促进，为人类判断疾病做出了重要的贡献。

    现代社会，电子信息技术飞速发展，数学在这方面也得到了较为充分的利用。例如基于离散数字动态系统的数学模型的自动机，亦即通常意义下不需要人们逐步进行操作指导的设备。自动机中最著名的莫过于英国数学家Turing提出的图灵机。它是由一个有限控制器、一条无限长存储带和一个读写头构成的抽象的，并可执行如下操作：

        ·读写头在存储带上向左移动一格；                                       

        ·读写头在存储带上向右移动一格；

        ·在存储的某一格内写下或清除一符号；

        ·条件转移。

的机器。一切"可计算"函数都等价于图灵机可计算函数，而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。以有多项式时间为上界，以图灵机为基本计算模型，奠定了计算机复杂性理论的基础。计算机复杂性理论的一个重要方向就是解决NP-完全问题，即直观上难解却无法证明其难解性的计算问题。而所谓难解，就是无法在多项式时间内被确定型图灵机所解决。在极为多数的与计算有关的学术领域里，NP-完全问题以各种形式层出不穷。通过与组合数学、概率方法、计算模型等相关数学领域的合作，NP-完全问题比如计算密码学、组合优化问题取得了极大的发展，并且进一步对计算机科学产生的全面的影响。

    除了对计算机本身的极大促进外，由于数学在金融分析、精算、数值模拟等大量社会、科技方面的应用，许多相关的数学软件应运而生。其中一个非常优秀的软件就是张锦豪教授所介绍的Tex。Tex是由美国Stanford教授Knuth 于七十年代专为解决数学符号排版问题而开发出来的。TeX的名字是由三个大写的希腊字母“tec”,即tau,epsilon,chi组成的，意为“科技”与“艺术”。其发音确实也与英文中的technology极为相近。当时Tex的源程序是用Pascal语言编译的，这可以方便地将其程序移植到其他的操作系统中去，而且它的输出与相应的设备无关。这些在当时都是十分先进而方便的。直到目前，Tex系统是公认的排版最为优秀的电子排版系统，具有一套功能强大且十分灵活的排版语言。许多组织利用Tex的宏定义功能对Tex进行了二次开发，比如AMS-Tex、LaTex等等。除了支持英文以外，还以实现中文、德文、法文等其他语言的输出。除了可以编排极为优美的数学论文以外，还能借助Tex编写乐谱、棋谱。最为重要的是，Tex文件是ASCII码的文本文件，十分方便具有并不高深的程序设计基础的人员阅读，也不会占用较大的存储空间。由于种种优良的性能，Tex已成为数学界十分通用的编排系统，有些出版社甚至要求投稿人将论文以Tex的形式投递，否则拒收。除了Tex这种数学文字编辑软件，比较著名的其他软件还有Maple、Math Cad、Mathematica、Matlab等数学计算软件，SAS、S-Plus、SPSS等统计分析软件，Oral、Sybase、Informax等数据仓库软件。概言之，现代数学的应用软件领域也呈现出精彩纷呈的局面。而数学的发展也反过来促进软件的开发，比如一种Mathematica软件具有分解因式的功能。这并非是简单地输入几个公式，然后再在应用中作为库存调用的呆板功能，而是运用了相当高深的代数理论是实现的软件初步智能化。

    除了上述方面之外，数学对于其他自然科学的影响之巨大是无需讨论的。比如一直与数学相依相存的物理。众所周知，微积分、复变函数、群论、概率论、非交换几何等等对物理的影响都是极为重要的。几乎每门数学分支都在物理中得到了应用，从而对其自身的发展也提供了动力。而物理也依赖于数学将物质世界的规律以逻辑与符号的形式表现出来。现在，泛函分析的一支——算子理论也与理论物理的前沿——量子力学共同促进、共同发展。虽然，这方面的数学是应归到应用数学抑或基础数学还有待讨论。

    总之，应用数学以数学一贯的严密的推理、完备的体系（相对意义下）、适宜的抽象在现代社会的各个方面呈现了前所未有的活力。

    不过，现在的数学感觉上似乎比较，或可用“幽默”这个词吧。一方面，基于其庞大而“坚固”的理论，应用数学在当今的科技社会如鱼得水；另一面，似乎基础数学家们却必须面对数学确定性丧失的一种有点尴尬的局面。一直强调这方面的问题，难免落于无病呻吟，太过于追求形而上学之嫌，就像卢梭所批判的“无聊”的追求。因为不管怎么说，基础数学丝毫不缺乏活力。然而，对其前景作简单介绍远远超出了我的能力。因此只能借助于哲学姑且说说。

    以上仅仅是个人对于数学的十分浅显的认识与看法，整篇论文也并没有明确的中心思想，随想随写，一如题目——“呓语”。身为一个知识面狭窄而认识力肤浅的学生，数学庞大的体系与精细的分支浩繁深邃，即使做管中窥豹式的一瞥也让我深感能力有所不逮。对无穷这种偏向哲学化的论题，只能叙述自己缺乏咀嚼的幼稚的理解。而像Godel定理这样艰深的内容，无非只能将其叙述一遍。或许正是因为站在数学的门外，才被古希腊的数学理念与体系所鼓动，对于所谓真理有着种种美好的却或许不切实际的幻想。尽管如此，将我目前所了解与理解的数学表述出来，对自己来说，也是一种成就。

“数学的本质就在于它的充分自由。”

    这是Cantor的一句名言，是否至理仍然有待争论。这是他对数学世界的观念。在这种观念的指引下，Cantor首次在无穷集合之间进行了大小，即“势”的比较，进一步创造性地提出，有理数的势是“阿列夫零（这个符号打不出来）”，而实数集的势是阿列夫，而且二者之间没有其他的基数了。后者即是著名的连续统假设。这些观念是如此地震撼人心，以至于遭到了Kronecker的激烈反对。顺带提一下，Kronecker是一个极其保守的人，他对于自然数有着特殊的爱好以至于甚至否认pai的存在。他说过一句话“上帝只创造了自然数，其他的工作都是人类干的”。大致是认为所有数学命题最终都可以归结为关于自然数的命题。这使我联想到我们所熟悉的数学归纳法。确实，现在数学中的许多概念的定义都运用了归纳的手段。比如说，阿列夫1、阿列夫2等等就是基于良序集的一种归纳定义；另外，如拓扑空间里的维数的定义也是归纳手法的一种典型的应用（这里，不考虑分形几何里的维数）。可是连续统假设似乎是太天马行空了，以至现在的人们都无法证明或证伪。上个世纪初，Godel证明了连续统假设与ZFC公理系统的各自独立性。现在，很多实变函数的书本里都会加上一句“这个假设我们约定不使用它来证明命题”。难道连续统假设将永远作为一个平行的定理么？

    曾经有人探讨过“双非”的问题，认为“正确对于科学来说，既非充分条件，亦非必要条件”。我十分赞同这种观念。因为，正确的定义是“人为”的。我们永远无法跳出自身被束缚的圈子，从而对事物进行判断的标准并不是自然的本质。由于正确的不能被精确定义性，这或许决定了我们对于世界的探知的永无止境。对应于自然科学中“正确”的找寻，现在的数学中，最本质的东西的定义在被追求。比如说，“零”是什么？或许会说，在一个定义了加法的代数结构里，是满足与任意元素相加后不变的一个量。然而，我觉得在人力所能及的范围内，任何人所构造出来的运算方法都是基于我们已经公认的加、减、乘、除。0的真正定义或许要从自然数里寻找，于是Descartes拓展了0的意义，表述出来就是：两个相同的自然数构成的序对的等价类就是0。简略的说，0就是空集。然而，如柯朗所说的：准确描述实体的努力被实体自身给否定了。这就使得，对于数学研究系统的公理化成为必须，以及对一些最本质的元素的直观默认被接受。为了避免Russell悖论的发生，现代数学公认的是ZFC形式公理系统——Zermelo-Frankel and Axiom of choice公理系统。其中包括了外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷公理、替换公理、正则公理以及选择公理。对于我来说，公理化数学系统感觉上是为了躲避已经知道的陷阱，找寻独立的最少的表述。这多多少少让人觉得太被动。数学，真的是人类所构造的一种游戏么？人类所构造的数学体系究竟是不是自然真理的体现，这是一个一直困扰人们的问题。

    另外，时常会感到困惑。数学家们永远在追求着逻辑，可是逻辑似乎没有上界。我们所有的课本上关于集合的运算律，如分配律、结合律，等的证明无非是把数学符号转变成文字叙述，最后再加上“显然成立”。“逻辑”，似乎建立在常识之上。然而，直观却不能被相信。这实在有点难以理解和接受。

    不管怎么说，人们在对逻辑严密性的追求中发现了它的巨大威力。历经Russel悖论的冲击后，以Hilbert为首的数学家们提出了Hilbert纲领，即通过公理化数学基础，将各门数学形式化，构造可有限公理化的符号逻辑系统——形式系统，建立数学的一致性。然而，这种设想却被Godel的不完备性定理彻底地粉碎了。Godel定理涉及到两个系统：形式系统和算术系统。其中，形式系统属于句法范畴；算术系统是一个关于自然数构造和运算的数学系统，属于语义范畴。Godel通过句法和语义的互相纠缠，证明了形式系统存在本质上的局限性,亦即这样两个命题：

   （1）在关于算术系统的任何形式系统中，都存在一个这样公式，它在算术系统里被解释为“真”，但在该形式系统中是不可证明的；

   （2）关于一个至少包容算术系统的一个数学理论的任何一个形式系统的协调性（经过Godel编码后）不能在该形式系统内部得到证明。

    也就是说，除非不承认算术，否则对Godel定理不必有任何怀疑。Godel定理告诉我们，以算术为基础、以有限公理化的形式系统为工具来刻划任何至少象算术系统那种丰富程度的数学理论，必定是不完备的。所谓“不完备”，一是指“可证明”的命题注定不能覆盖“真”命题，二是指该形式系统自身的协调性注定不能在该系统内部得到证明（在Godel编码意义下）。

    Godel定理在数学基础和逻辑上的影响是极其巨大的。因为按照Godel定理，只有某些连算术都不能包容的极其贫乏的理论可以用形式化系统自圆其说，否则稍微象点样的数学理论都不可能以一个形式化系统自圆其说地进行刻划。以Godel定理为分界，确立了形式系统不能做什么的一个得到普遍接受的边界，使人们放弃了对形式系统的不切实际的过高期望，使得形式系统在其能力范围内得到健康的发展。

    看着Escher的巴比伦塔顶上孤独而永不停歇的人们，这就是对于现代的数学家们的刻画么？在貌似十分接近的绝对真理的天空下，却仍旧无法达到彼岸。Escher曾画过一条自身盘绕、从身体中穿出而咬住尾巴的龙，虽然与物理中宇宙物理与微观物理的结合有相同之处，但是，从形体的矛盾性上看也与现代数学的体系交相呼应。或许这就是Klein将他的一本书命名为《数学——确定性的丧失》的原因吧。

    不过，数学并非只是逻辑的产物与形式。奇妙的是，人们总能够将美术，音乐等十分抽象的艺术与数学联系起来。往往，Escher的画所产生的怪异的视觉悖论总能使人们将其与Bach音乐中的数学联系起来。而Bach的《卡农》中所体现的听觉悖论也无疑是对Escher的一种极好的呼应。事实上，人们十分肯定Bach音乐中所存在的数学，数学家也是Escher的第一批崇拜者。可是这究竟是一种什么样的形式，却很难被描述清楚。曾经，Pythagoras试图通过数与频率的关系来解释音阶的悦耳性，这也确实是一种很美妙的行为。不过，在单一的数的联系之外，是否有着某种更高层次的数学与艺术的相通呢？

    这些都是太哲学化的数学了。或许正是这一点，赋予了基础数学一如其英文名——pure mathematics的纯粹的气息吧，尽管现代的数学与希腊时代Plato追求永恒而绝对的真理的设想有着比较大的出入。